如何读好数学书？| 展卷
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李天岩（1945-2020）教授在中国有着极高的知名度，他不仅有被著名物理学家戴森称为不朽珍品的学术代表作《周期三意味着混沌》，还证明了“氢弹之父”乌拉姆的一个数学猜想，以及对荷兰数学家布劳威尔的著名不动点定理的构造性证明，一举奠定了他在混沌动力系统与同伦延拓算法两个领域中的学术地位。而这样一位学术巨人，同时还是一位经历了约20次大手术和不计其数小手术的“数坛史铁生”。
本文经授权节选自《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》（上海科技教育出版社）第五章《读书妙法》，题目为编者所加。点击文末“阅读原文”可购买此书。
撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
如同在数学中常做的那样，在仔细讨论“读书妙法”之前，我们先给出一个假设，即所学科目的任课老师和所选教材都令人满意；如果属于自学，则也假设学习的动力不是问题。此外，智力的作用并不是我们所要考虑的一个因素。在这些比较理想的背景下，我们怎样能够卓有成效地读好一本数学书？
李天岩教授经过在台湾和美国长期的书本学习和研究实践，已经总结出宝贵的读书妙法。我也在过去几十年的读书生涯中，结累了一些“读好书”的心得体会。离开师门长达三十年，我和他的师生之缘不仅没有褪色，而且不断增添光彩，其中的一个关键要素是我们对关于人生、学习、教书、研究、演讲等的许多问题有着几乎一致的看法，也遵循着我们都强烈认同的行动准则。这一章所重点谈论的“怎样学数学”，固然是对李天岩教授一生读书研究的一个概括，其实也穿插着我对读书学习的点滴理解。我们师生都深刻体会到学好数学的最重要法宝就是对概念的精通。其实这也是我的大学同班同学中那些数学学得透彻的一部分人的共同体会。由于在2015年7月庆祝李教授70周岁的师生聚会中，我和师爷约克教授就教育问题进行过全方位的交流，我也会转述约克对读书的一些真知灼见。
数学以公理和公设为前提，以定义为先导，以逻辑为手段，逐步推演出揭示概念各种性质以及与其他概念相互关系的有用命题。在这一过程中，推理的艺术至关重要。而我们看懂定理证明的一切本领，最初的训练来源自中学所学的欧几里得几何。所以，1977年江苏省高考统考的数学满分者、我的大学同班同学魏木生在密歇根州立大学和我的一次聊天中认为，平面几何是中学数学课程中最重要的。
在数学中，一个新的概念的定义必然用到其他概念，而属于它的命题不外乎是关于概念的性质、用途或与其他概念的关系。在一个命题的叙述中，所有涉及到的概念都必须已被明确而清晰地定义，否则即便天才也看不懂这个命题。故在它们的证明中，所碰到的数学概念无处不在。因此一碰到某个概念，就应该在脑海里浮现出关于它的完整图像。比如说，在微积分的级数理论里有个简单的命题：若无穷级数收敛，则该级数的通项数列一定趋向于0。在这个命题当中，有两个基本的名词概念，即“级数”和“数列”，还有一个极其重要的“收敛”概念，分别用于级数和数列。所以在证明这个命题时，一定要对这几个概念的定义以及它们之间的关系了然于胸。如果连级数收敛的定义还停留在模模糊糊的状态，或者根本还没有搞懂一个级数的通项数列与该级数部分和数列之间的关系和区别，怎么能从一个级数的收敛性推导出它的通项数列趋向于0的这个级数收敛的必要条件呢？
虽然概念这么重要，但是太多的学生却没有把它放在眼里，或者根本就不知道“掌握概念”这个读书利器。原因之一或许是在他们进入大学前的中小学阶段，就被高考指挥棒和题海战术的误导下，只求死记硬背。他们被动接受读书的这种最差方法，或许另一个的原因是，对于他们而言，背诵定义比理解定义更容易、更轻松。背诵定义只是机械性的行为，就像旧时代私塾先生摇头晃脑地教学生背诵古书一样。而理解概念则需要大脑的思考投入了。写得好的数学教科书中的概念定义，表达得十分清楚，遣词造句也很节约，即句中没有多余话语，每个单词都有意义。要完全理解包含许多逻辑连词的复杂定义的内涵，绝非是光靠背得滚瓜烂熟就能驾驭。它需要阅读定义时不停顿的苦思冥想，并且要绞尽脑汁地彻底弄懂。检验自己是否真正搞懂了某个定义，一个妙法就是询问自己这个定义不成立时应该怎么说。如果写不出来，大概离真懂定义还有不少差距。
李天岩教授在课上教书阐述一个抽象概念时，喜欢举例说明。我在广州听他第一次演讲时就被他的“化繁为简”法迷住了，来到美国第一个学期中他为颜教授代课时的风采也被我记载下来，那是我在美国第一次听他上课。现在就举一例，试一试如何否定一个数学陈述。就从每个理工科大学生都学过的微积分入手。假设读者曾经学过严格的“ε-δ”语言极限定义。让我们先回忆一下这个定义：设f是实变量x的一个实数值函数，且给定函数定义域区间里的一个实数a。如果存在实数L使得对任给正数ε，存在正数δ，使得当位于该区间内的x满足不等式0 < |x - a| < δ时，不等式|f(x) - L| < ε就成立，那么我们称函数f当自变量x趋向于a时的极限为L。现在，下面的否定陈述“函数f当x趋向于a时的极限不存在”用“ε-δ”语言该怎么表达呢？这是关于一个概念定义不成立时的说法。当这个概念成立所需的性质相对比较简单的时候，其否定的陈述自然也是比较简单。比如说，“我是一个教授”的否定叙述就是“我不是一个教授”。然而，对于一个同时包含了“任给”、“存在”、“当......就”等单词和短语的复杂定义，它的否定语句就不一定轻而易举地就能写出。这需要我们开动脑筋，梳理好原句中的逻辑关系，挥舞起逻辑思维中的武器，才能正确无误地将否定句写得“合乎逻辑”。读到这里的读者，就请你测试一下你的逻辑推理能力，写出“函数f在a点的极限不存在”的一个定义吧。
只求记忆、不肯思考是当今许多人学数学时的一大错误做法，也深得李天岩教授的鞭挞。我在密歇根州立大学念书的那几年，就听他好几次讲到他的博士母校马里兰大学数学系发生的一件真事。一位外国留学生要接受一次博士资格考试的口试。主考官请被口试者证明点集拓扑学中著名的吉洪诺夫定理，但只要求她证明二维的简化版本：两个紧集的乘积在乘积拓扑下也是紧集。但是该博士生央求教授让她证明一般的吉洪诺夫定理：任意个紧集的乘积在乘积拓扑下也是紧集。原因是她已经将这个一般性结论的证明从头到尾记得烂熟于心，却不会证明定理的特殊情形。
事实上，这种现象相当普遍。一些同学早已将上述的极限定义背得滚瓜烂熟，但还是没有理解这个定义背后的含义，一旦用到具体场合，或做起稍有挑战性的极限题目就坠入迷雾之中，不知如何下手。在一些需要证明极限不存在，或即便极限存在但其值不是某一个给定数的场合，就更加不知所措了。在读内容不易消化的数学书时，经常会对复杂的定义或艰深的定理，一下子感到难以理解。如果这种情况发生，也不要太悲观失望。这时需要充足的耐心和自信。回顾过去的概念往往是个正确的选择。这里我们不妨借用一下美国杰出的物理学家费曼(Richard Feynman，1918-1988) 在他23岁时给比他小九岁的妹妹提供的读书指导建议：“你从头读，尽量往下读直到你一窍不通时，再从头开始。这样坚持往下读，直到你全能读懂为止。”这个方法是行之有效的，最适于那些希望无师自通的自学者们采用。费曼的妹妹采用这个方法读完并读懂了一本有关天文学的书，成功的喜悦促使她选择了这门学科作为终生的职业。我自己长期自学，也常用这种来回作战法战胜一本数学书中的每章每节。李教授长期研究求解多项式方程组，自修了与代数几何是亲密弟兄的非交换代数，我相信他也是和费曼的做法一致。我大学同学中分析数学学得比较扎实的那些人，肯定也与费曼“英雄所见略同”：读书碰到不懂之处时，马上从头再来，步步为营稳步前进，最终全盘拿下整章整节。
看懂证明并能上升到学会证明是读数学书的关键步骤。李天岩教授对学数学最反感的做法就是背诵证明却缺乏理解，所以如果他的学生要给他报告一个定理的证明时，他绝不会让你证明一般结论，而是叫你证明具体的简单情形，察看你是否真的搞懂了。他对学生不仅这样要求，也身体力行地示范之。在他晚年接近正式退休时，他应邀为系里的几个来自祖国的访问学生讲解他关于“连续函数周期三点存在隐含周期n点存在”的证明，其中的一个学生许士坦现在是该系正式录取的博士研究生。在他寄给我的一张李教授正在演示证明的照片中，我看到的黑板上写下的是证明n = 4时的特殊情形，而证明对一般正整数n结论都对的思想就在这个具体证明中充分显示。所以要当上李教授的学生，就要会证n = 3或4时的特殊结论。
李教授2017年给学生讲授混沌理论
问题是，在教科书或论文专著中，作者并没有写下n = 3或4时具体定理的证明，而对定理的叙述及其对此的证明基本上都是一般性的，那怎样能看懂复杂而冗长的证明？让我们读一读约克教授的建议：
“学生（甚至教授）要试图理解证明中的关键思想，并最好找到两个关键的想法。这些关键思路不一定非得以‘引理’的面貌出现，因为书中也许指出了太多似是而非的关键线索。其实关键思想往往是令学生大吃一惊的那个，因而不同人会挑出一个证明中的不同关键想法。它们是提高我们理解力的关键要素。一个关键的点子也许会有复杂的证明，故学生们应当从这个过程中发现两个关键的思想。”
2015年7月，在给我的一个长长的电邮中，约克教授举了两个例子说明怎样找出证明中的关键思想。大概因为微积分里关于连续函数的“介值定理”在他和弟子最著名的文章中起了关键性的作用 ，他把这个定理的证明作为第一个例子。定理的几何意义一般人也能理解：把一根直线两旁各一已知点连接起来的任何一条连续曲线必定要穿过这根直线至少一次。它的严格数学陈述是：如果f是定义在闭区间[a, b]上的取实数值的一个连续函数，则对位于函数值f(a)和f(b)之间的任何一个数d，存在[a, b]中的一点c，使得f(c)=d。证明定理的第一个关键想法是，通过区间的中点将区间[a, b]分成两个闭子区间，长度都是原区间的一半，则数d一定位于f在两个闭子区间之一的两个端点上的两个函数值之间，由此性质确定的那个子区间将取代原先的区间。第二个关键想法是，只要d没有成为f在目前得到的子区间某端点的函数值，重复运用上面那个平分区间的思想，并且保持数d总是位于区间两端点的函数值之间这一性质。如果上述过程的每一步都取不到所要求的函数值d，就可以得到每次长度缩小一半、前面套住后面的一个无穷的闭区间序列。这些区间的长度最终将趋向于0，故关于实数的“闭区间套定理”确保它们只有一个共同点c。根据假设f是一个连续函数，因而该点c必定满足等式f(c)=d。上述两个想法就是证明介值定理所需要的关键思想。
或许也因为他当过系主任的马里兰大学数学系历史上的那个颇能说明问题的“资格考口试”，约克教授举的第二个例子就是前面提到的吉洪诺夫定理的标准证明。这个证明自然难多了，而且还需要不是每个数学家都认可的策梅洛（Ernst Zermelo，1871-1953）集合论选择公理，所以这里不详细解释，仅仅指出也是两个关键的想法导致证明水到渠成。有拓扑学基础并对证明想追根求源的读者，可以从我于2016年由商务印书馆出版的书《亲历美国教育：三十年的体验与思考》的附录《约克教授谈教育》中读到细节。
约克有资格传授读好数学的真经，因为他是全世界极富盛名的混沌大师，为此和“分形之父”曼德博（Benoit B. Mandelbrot，1924-2010）共享了2003年的日本奖。而他所在的马里兰大学混沌动力系统研究团队，在他弟子的眼里，学术声誉应是全美第一。但是这样一个极具创造力的研究型数学家，在高中时代，所有数学课的成绩最高只是87分，没有一个“优”。这不是道听途说的“假新闻”，我从他电邮给我的所有高中成绩单中看得一清二楚。但是我听说过，中国许许多多的中小学生数学平均分在95分左右的，还必须去校外家教“辅导班”继续加工，因为还没有达到“完美分数”的高度。然而约克告诉我，“我在读高中时就学会了怎样学数学”。所以他在家乡新泽西州的高中数学竞赛获得全州第三的成绩。约克考进了哥伦比亚大学读本科后成绩单还是“其貌不扬”。他和弟子卖关子说“我在大学时没有B”，李天岩开始以为“全是A”，得到的回答却是“C或C以下”。然而大学数学成绩单非常漂亮的李天岩教授在他的文章《回首来时路》里却这样写道：
“虽然我那时档案里的记录极为出众，但如今回想起来 当时实际上可以说是一窍不通，不知自己到底在干什么。念书时背定理，背逻辑最多只能应付考试。毕业服完兵役 以后，绝大多数以前所学当然都忘了。老实说，在出国前，我真想放弃数学，不干算了。后来在美遇到了导师约克教授。从他那里，我才慢慢对学数学和研究数学有了些初步的认识，而这些认识大大助长了我以后学习数学的视野和方式。”
真是肺腑之言呀！至少就读数学而言，成绩并不重要，因为学数学并非训练记忆力，而是训练认识世界的能力。东西方文化的差异也影响了读书学习的习惯。在东方，尤其是当今的中国，但求记忆不求思考地被动跟随教科书上的逻辑推理过程学习数学，只知道为什么这一步推出下一步，下一步又推出了再下一步，最后推出定理的结论。看上去搞懂了证明的过程，却没有真正理解，只能应付考试。而西方的好学生，在读书时经常会问“为什么”：它为什么是这样？为何要这样做？这些问题不大会在考试中碰见，但在做研究时却经常出现。所以约克略开玩笑地对年轻学生说：“如果你只想考试过关，就背诵定理的证明吧。但是如果你想做研究，就要真正搞懂证明中的两个关键思想。”
做习题是学数学过程中不可或缺的一环，但是科学地做题不仅节省时间，而且能事半功倍。我读大学时，全国的数学系学生做白俄罗斯籍数学家吉米多维奇（Boris Pavlovich Demidovich，1906-1977）的《数学分析习题集》蔚然成风。这本书对培养人的推理能力功不可没，甚至可以说不亚于当年数学生几乎人手一套的多卷本课外参考书、苏联数学家菲赫金哥尔茨 (Gregory Mikhailovich Fichtenholz，1888-1959）的名著《微积分学教程》。我的同班同学田刚在本科阶段大概做了两万多道习题，打下了他后来出色数学人生的基础。但是他现在被记者采访时并不赞成目前的大学生做那么多的题目，被训练成一台“做题机器”，活像喜剧大师卓别林（Charles Chaplin，1889-1977）在经典影片《摩登时代》中留下的那个“卷进机器”的夸张形象。中国的高中生由于高考的压力和考上名校的渴望，在18岁前的那几年主动或被动地不知做了多少道题。但是到了大学阶段，很多人做习题的劲头却像泄了气的皮球那样鼓不起来。这两种极端都不是聪明的做法。在正常的情况下，怎样才能“科学地做题”？习题的目的是巩固概念的理解及加强运用概念的能力，所以做题前倘若还未弄懂概念的内涵，不要完成任务式地做题。好的教科书列出的习题，除了一小部分是用于复习概念或直接应用命题的“常规题目”，还有一批是锦上添花极具挑战性的精妙题目。有的写法高超的教科书甚至将带有提高性的一些结果放在习题部分向读者下战书，看谁敢于举枪迎战。要敢于尝试这类题目，而不要做太多的几乎不要动脑子的“常规题”。这才是提高自己数学水准和未来创新能力的一个好途径。
与学生时代形影不离的一件东西就是“分数”，自然每个人都像喜欢美一样地喜欢好分数。考试成绩当然是重要的，因为它是学校评估学生这门课究竟学得怎么样的唯一采取的途径，基本上能反映知识掌握的程度。上好的成绩单作为记录在案的读书历史，能让自己一辈子感到高兴。我当年全美外文德语考试获得本系创记录的高分，从研究生事务主任的秘书手中拿到成绩单，走出办公室时的脚步都有点飘飘然了。尽管匆忙报喜的我被导师的回信嘲弄了一番，心中还是坚信“考高分总比考低分好”。这话自然也不错，但事实是在过去的33年中，我从未有机会需要读一篇德文或俄文的数学文章，倒是有一次我特别想读1950年发表的一个经典遍历定理的叙述和证明，但文章偏偏是用我看不懂的法语写的。
在中国大陆，高中毕业生的高考分数，少一分就可能与心仪已久的双一流大学失之交臂。所以，像衡水中学那种通过极端手法魔鬼训练取胜的高考高分数制造商，令许多望子成龙的家长佩服之极。在目前的高考体制下，这个分数确实极端重要。然而，正如诺贝尔物理奖获得者丁肇中（1936-）先生说过的，他没有发现哪个诺贝尔奖获得者（自然包括他自己）曾是班上的成绩第一名，倒是听说过有班上最后一名的。这句话很说明问题：读书的目的不是为了追求成绩第一，而是为了追求真理，理解真理，最终走向职场后能够创造发明，发现真理。如果一个读书的学生过于看重考试成绩而缺乏远见，整天眼睛只盯着考试所依据的教科书而不勤于阅读拓广视野的课外书籍，即便考试成绩在班上名列前茅，从长计议可能还是有所遗憾的。一个有鸿鹄之志的学子，想到的应是博览群书，为十年或二十年后的辉煌打下坚实的基础。
李天岩教授虽然在大学成绩拔尖，但他从不把这个记录看在眼里。那几年他时常提醒他的博士生要学到“看家本领”，要具有“真才实学”。回想在南大求学的时代，我庆幸自己并没有为了取得耀眼的考试成绩而学习，而是希望自己像海绵一样尽量多地吸收有用的知识，坚持不懈地大量阅读课外书籍已经成了我的习惯，包括数学与人文。平时，我看教科书的时间并不太多。但是每次听课之前我会大致浏览一下老师要讲的内容，上课后只顾竖起耳朵认真听讲，却不做笔记，顶多在教科书的空白处记上突然听到的超越书本的内容。课堂上专心致志听讲后，我感觉到概念已经融化在我的脑海中。但是去了美国后发现，许多美国教授不按教科书讲，或者干脆不用教科书，只列出几本参考书，全凭他的三寸不烂之舌兜售知识，于是我“改邪归正”开始记课堂笔记了，然而我更喜欢这样的不按部就班授课却鼓励学生不停思考的教授。
如果我们再次回放李天岩教授的三大数学贡献，就会发现他在博士生时代就对几个不同的数学领域均有涉猎，令人惊奇。我在国内只懂他的一项工作，但是来美后深深受他影响，不囿于精通一门手艺，而是设法做到对他的研究成果“胸中有数”。这大概也给他留下了较好印象，以至于在正式工作后雇主大学帮我办绿卡时，我从人力资源处看到的他给我写的推荐信中说，在其所有的学生中，“他是唯一对我所有研究领域都了解的一个。”
学会了怎样读书，对于那些希望今后从事研究探索事业的人，就对迈出治学第一步提供了坚实的基础。
书评
情到深处自然浓 意到浓时怎忍舍
——推荐《走出混沌——我与李天岩的数学情缘》
撰文 | 王涛（中国科学院自然科学史研究所）
李天岩（1945-2020）教授在中国有着极高的知名度，甚至一般的读者也知道他的大名。他的论文《周期三意味着混沌》太有名了，普林斯顿高等研究院的戴森（F. Dyson）在他著名的演讲文《鸟与蛙》中，称其为数学文献中的不朽珍品。能做出一个这样的成果就足以青史留名了，而李天岩除此之外还有其他两项杰作——对“氢弹之父”乌拉姆（S. Ulam）的一个数学猜想的证明，以及对荷兰数学家布劳威尔（L. Brouwer）的著名不动点定理的构造性证明，从而一举奠定了他在混沌动力系统与同伦延拓算法这两个领域中的学术地位。
作为李天岩的弟子，美国南密西西比大学数学系的丁玖教授对他的导师怀有深厚的感情，曾多次向国内的读者介绍李天岩的数学成就、治学思想与顽强意志。李天岩逝世后丁玖悲伤到几乎不能自已，他翻阅了珍藏多年的日记以及35年来两人的通信记录，回忆起过往的点点滴滴，在友人的建议与读者的期待中奋笔疾书，用两个半月的时间完成了这部泣血之作——《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》（以下简称《走出混沌》）。
《走出混沌》以历久弥新的科学概念“混沌”作为标题，这也是李天岩最主要的标签。李天岩是如何发现混沌的？背后都有哪些精彩的故事？数学家出身的丁玖兼有科学史家的视野与科学作家的文笔，他时常从历史的线索出发，用优美的文字将李天岩的数学贡献以及与之相关的数学理论讲得简单明了、清澈见底，使读者能够“走出混沌”。可以说，这部著作是一本关于李天岩的半生传记。最令读者动容的也许是李天岩的坚强意志，他与病魔战斗了大半辈子，却从不放弃希望。中国科学院的严加安院士咏诗赞曰“堪比文坛史铁生”，香港城市大学的陈关荣教授还因此发明了一个成语——“天岩铁生”。
不过，传记并不是本书唯一的主题。如副标题所显现的，作者与恩师的数学情缘才是本书的核心所在。这本书给读者提供了一个难得的、了解数学家师生之间感情的案例。通读全书，读者会发现作者与李天岩的“情缘”可谓是“父子之情”与“恋人之缘”。
本书的前半部分主要讲述作者如何成为李天岩的学生。两位主人公一位在中国的南京大学，另一位在美国的密歇根州立大学。在20世纪80年代，要想成为李天岩的学生，作者还真需要点缘分，这样才能“有缘万里来相会”。幸运的是，同伦曲线充当了鹊桥，作者与李天岩得以在中国的羊城初次见面。如同恋爱中的少男少女一般，在成为李天岩学生的过程中，作者时常感受到幸福，偶尔也压力倍增。在通过托福、英语考试、博士资格考试等一众考验之后，作者终于在1987年1月成为李天岩的正式弟子。在阅读过程中，读者可以感受到作者的真诚，他从未回避自己遭遇的挫折与失败，因而本书又是一部充满价值的回忆录。
中国人讲究“一日为师，终身为父”。如作者在书中坦承的，除了父母之外，就属李天岩对他的影响最大了。特别是他在留美求学与工作期间，李天岩宛如一位慈祥而又严厉的家长，教给他读书妙法与治学之道。在这个过程中，作者也谈到了自己多年来对中美两国教育和文化的思考与心得。这些内容构成了本书的后半部分。李天岩为了这些“孩子们”可谓操碎了心，既会为他们的偶尔懈怠感到焦虑，又会对他们的不断成长而感到欣慰，更会手把手地教他们如何做演讲特别是面试报告，以便他们毕业后能够找到一份满意的工作，成为受欢迎的教学名师。而给笔者留下深刻印象的则是李天岩的故国情怀，他对祖国怀有深厚的感情，教导“孩子们”对待洋人要不卑不亢、不能奴颜婢膝。
阅读此书，我相信读者一定会被李天岩的人格魅力所吸引，也会被作者怀念恩师的真情实感而打动。在阅读过程中，如果读者能参考作者的另外两本著作《智者的困惑——混沌分形漫谈》《亲历美国教育：三十年的体验与思考》，则不仅可以加深对李天岩及其数学成就的认识，还能了解到更多的有关中、美两国教育的真谛。
可以告慰李天岩的是，他的学生丁玖写出了这样一本精彩的数学文化著作，使得广大的中文读者能够了解到李天岩的精彩人生，让他的名字深入人心。我们期待，在将来的某一天作者能写出一部更加完整的《李天岩传》，这将是送给读者们的一份更大的礼物。
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